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　　五、夾角γ為75°的計算

　　5.1用基礎理論分析圖7形式順時針轉動時慣性力

　?、僖浑A慣性力的計算

　　一階慣性力用 表示，下標 代表一階。按照圖7從左到右的閱讀順序，其一階慣性力合力的構成如（7）式所表達

　　坐標系如圖順轉15°后，由于y軸在標準直角坐標的對面，相當于坐標系逆時針旋轉15°，也就

　　是作正角15°變換，其因子為，

       則

　?、诙A慣性力的計算

　　這里先用傳統的三角函數來計算。

　　垂直方向：

      先積化和差，得到

     展開化簡合并后得到

　　      

    水平方向：

　　這里應注意投影到y軸應為負值，這也和前面的正方向原則相一致。否則影響到轉換矩陣，影響到諸如式（34）等的形式。

　　也可以采用復數分析法，下面簡單地寫出。二階慣性力用 表示，下標 代表二階。按照圖7從左到右的閱讀順序，其二階慣性力合力的構成如（11）式所表達

　　

        關于W型75°順轉二階慣性力也可以類似一階慣性力作其逆矩陣（見下）求出其二次多項式，判定其橢圓，此處不展開了；也可以作正角15°矩陣變換，求出其關于轉角的參數方程，得出的結果太復雜，這里寫出其線性方程，讀者有興趣可以驗算一下四個涉及到三個無理數的方程運算。

　　5.2用基礎理論分析圖8形式反時針轉動時慣性力

　?、僖浑A慣性力的計算

　　同樣，一階慣性力合力的構成按圖8所示的構成，依次寫出如下

　　由上式可以發現，將式（34）中的“θ”用“－θ”，“Y”用“－Y”代替后就得出上面的式子。這也就是轉角換向就用負角代替，按基礎理論中正方向的問題所要求的，依圖7中所建立的坐標系，由于y軸較前一種方向相反，所以y軸也要變號。

　　經求上矩陣的逆矩陣得：

　　該逆矩陣是這樣求得的，令，則原矩陣為，先求其行列式的值，用含有字母a的代數式表示，上矩陣的伴隨陣是，依據，矩陣的四項將a值代入，計算化簡后得出含有根號的分式。

　　利用cos²θ+sin²θ＝1，求出關于X、Y的二次多項式，利用其判別式定理，求得AC＝0.238≠0，B2－4AC＝-0.893＜0。所以其一階慣性力圖是一個橢圓。

　　坐標系作負角15°變換，則

　　故其一階慣性力圖是一個橢圓。

　?、诙A慣性力的計算

　　二階慣性力合力的構成按圖8所示的構成，依次寫出如下

　　關于它是一個橢圓，類同以上。讀者有興趣也可仿上步驟算出這個矩陣。上式與式（42）相類似，讀者應明白其構成。

　　5.3用基礎理論分析圖9形式順時針轉動時慣性力

　?、僖浑A慣性力的計算

　　根據式（50）、（46）、（35），依上一篇文章的內容，可以得出W型75°壓縮機上述三種情形一階慣性力的橢圓的短長軸之比為。

　?、诙A慣性力的計算

　　這里也先用傳統的三角函數來計算。

　　垂直方向：

　　先和差化積，得到

　　水平方向：

　　如用復數分析法，則如上結果相同。

　　根據式（53），依上一篇文章的內容，可以得出W型75°壓縮機上述三種情形二階慣性力的橢圓的短長軸之比為。

　　5.4總結

　　本處以安徽華晶機械有限公司生產的WW-0.9/10B-Q型全無油二級空壓機為模版，假定氣缸夾角為75°，計算其一、二階往復慣性力。此處先假定三列往復質量相等，即m_s為1.8kg，曲柄半徑為0.0375m，曲柄半徑連桿比λ為37.5/195，角速度ω為2π×(800/60)rad/s，現將上述結構參數分別代入上文中所列的相關公式中，運用計算機內EXCEL程序列表、繪圖計算分析，計算的結果繪制在上圖的圖7、圖8、圖9中，可以得到以下結論：

　　1）一階慣性力由60°分布的圓變成橢圓，且橢圓的短長軸之比由1變成0.608；平均值由711N變成721N，有所增大；方向由跟隨變成近似跟隨。圖7、8中已畫出一、二階慣性力剛開始時的矢量線，用橢圓斷開表示，圖9中反映一階慣性力在某個時候有重合的可能。

　　2）二階力說明，其橢圓短長軸之比由0.333變成0.571。力的平均值由96.9N變成70.4N，有所減小。方向初看是亂的，但很有規律，因為三角函數是周期函數。這個規律待人們去認識、研究、發現、找尋合適的機構來平衡。

　　3）當m_s2≠m_s1時，60°分布一階慣性力在m_s2列方向形成橢圓的對稱軸，而75°不是，說明角度優先于質量，說明W型時，60°分布是最優的。從式（9）的復數表達式、式（10）的幾何表達式中可以看出，60°分布時一階慣性力長短軸與角度無關，僅與質量有關，這與上也是吻合的。

　　4）它們的共同點是，曲柄轉1周，一階慣性力也轉1周，且同向；二階慣性力轉2周，也同向。

　　5）若m_s2≠m_s1，會引起圖7、圖8、圖9中兩個橢圓有所歧化，或偏轉，兼帶擴壓，使其相位、幅值有微量變化。

　　5.5 圖9與圖7中隱含的一致性方程

　　我們將圖9中坐標系順旋轉方向轉動75°后建立了新坐標系，就變成了圖7中坐標系，這也是正角變換，我們可以得出這兩個代數式方程（50）、（34）之間的相互聯系，用下面的矩陣方程來表達，以驗算一階慣性力理論推導過程的一致性。

　　〈注：本文未完待續，更多精彩見下期！〉

　　參考文獻

　?。?）宋瑞林，氣缸夾角為60°的V6車用發動機往復慣性力的平衡分析，[J]，汽車技術，1988.8

　?。?）李松虎，3W型活塞壓縮機往復慣性力的分析，[J]，壓縮機技術，1987.3

　?。?）陸鵬程，張光勝，三星型壓縮機振動問題研究，[J]，安徽工程科技學院學報，2009.1

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